חקירת פולינום (עם הצבה )3חקירת פונקציות 571 · שיעור 20

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 20: חקירת פולינום (עם הצבה )3

מציאת נקודות קיצון וחקירת פולינום

1📝 השאלה

2🔷 הסעיפים

📄 נוסח השאלה

שאלה: חקור את הפונקציה f(x) = x⁴ + 7x² + 10 על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה.

ב. נקודות חיתוך עם הצירים.

ג. נקודות קיצון.

ד. תחומי עלייה וירידה.

ה. סרטוט.

🔷 הסעיפים

סעיף א: תחום הגדרה.

פולינום, בלי שבר: אפשר להציב כל x.

✅ כל x

🔷 הסעיפים

סעיף ב: נקודות חיתוך עם הצירים.

עם ציר y מציבים x = 0:

f(0) = 0⁴ + 7·0² + 10

= 10 ← (0 , 10)

עם ציר x מציבים y = 0:

0 = x⁴ + 7x² + 10

משתמשים בהצבה x² = t , ואז x⁴ = (x²)² = t²:

0 = t² + 7t + 10

(t + 5)(t + 2) = 0

t = −5 או t = −2

חוזרים ל־x:

x² = −5 או x² = −2

🔷 הסעיפים · המשך

x² = −5 או x² = −2

ריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי ← אין פתרון.

✅ (0 , 10) , ואין חיתוך עם ציר x

🔷 הסעיפים

סעיף ג: נקודות קיצון.

גוזרים ומשווים ל־0:

f'(x) = 4x³ + 14x = 0 ← מחלקים ב־4

x³ + 3.5x = 0

מוציאים x כגורם משותף:

x(x² + 3.5) = 0

x = 0 או x² = −3.5 ← אין פתרון

מציבים בפונקציה: f(0) = 10 ← (0 , 10)

מציבים בנגזרת מספר לפני 0 ומספר אחרי:

f'(−1) = 4·(−1)³

+ 14·(−1)

= −4 − 14 = −18 < 0

🔷 הסעיפים · המשך

= −4 − 14 = −18 < 0

f'(1) = 4·1³ + 14·1

= 4 + 14 = 18 > 0

x	−1	0	1
f'(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

✅ (0 , 10) נקודת מינימום

🔷 הסעיפים

סעיף ד: תחומי עלייה וירידה.

לפי הטבלה מסעיף ג:

✅ עלייה: x > 0
ירידה: x < 0

🔷 הסעיפים

סעיף ה: סרטוט.

הגרף יורד עד נקודת המינימום (0 , 10) ואז עולה. הוא לא חותך את ציר x, ולכן כולו מעל הציר:

📌 לזכור

💡 כשיש רק חזקות זוגיות x⁴ , x² , מציבים x² = t ומקבלים משוואה ריבועית רגילה. ואל תשכחו לחזור בסוף מ־t ל־x!

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא